Vector Representation

좌표계의 회전 변환

i번째에서 정의된 좌표계는, 내가 원하는 global 좌표계에서 좌표로 다음과 같은 관계를 갖는다.

$$\left[\begin{array}{c}{x}_p\\ y_p\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_p^i\\ y_p^i\end{array}\right]$$

이 행렬을 A라 정의하자.

$$A^i=\left[\begin{array}{cc}cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{array}\right]$$

위치 벡터의 표현

다음과 같이 global 좌표계가 있고, 특정 body에서 정의된 좌표계가 있을 때, 우리는 이 두 좌표계를 변환할 필요가 있다. global 좌표계에서 body의 움직임을 알고 싶다. 강체라 가정하고, body의 좌표계에서 중심점이 되는 곳을 우리는 reference point 라 부른다. 또 그곳에서 정의되는 좌표계를 body frame, local coordinate 라 한다. 그리고 global 좌표계의 중심이 되는 곳을 reference frame 이라 부를 것이다. 이 두좌표계를 변환하는 관계식은 다음과 같다.

$${\overrightarrow{r_p}}^i={\overrightarrow{R}}^i+{\overrightarrow{u_p}}^i$$

이 표기법을 말로 정의해보면, global 좌표계에서 표현된 p점의 벡터 는, reference point까지의 벡터 와 reference point로 부터 global 좌표계에서 표현된 특정 위치의 벡터 를 더한 것이다. 라는 의미이다. 이 때, reference point로 부터 global 좌표계에서 표현된 특정 위치의 벡터는 local coordinate 로 부터 global coordinate 로 회전 변환 한 것이므로,

$${\overrightarrow{r_p}}^i={\overrightarrow{R}}^i+A^i{\overrightarrow{\stackrel{-}{u_p}}}^i$$

여기서 맨 오른쪽에 표현된 term은, local coordinate에서 표현된 특정 좌표이다.

$${\overrightarrow{\stackrel{-}{u_p}}}^i=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{-}{x_p}}^i\\ {\stackrel{-}{y_p}}^i\end{array}\right]$$

속도 벡터의 표현

위치벡터를 미분하면, 얻을 수 있다.

$${\overrightarrow{r_p}}^i=\frac{d}{dt}{\overrightarrow{r_p}}^i=\stackrel{\cdot }{{\overrightarrow{R}}^i}+\stackrel{\cdot }{A^i}{\overrightarrow{\stackrel{-}{u_p}}}^i+A^i\stackrel{\cdot }{{\overrightarrow{\stackrel{-}{u_p}}}^i}$$

여기서 의미를 파악해보면, 시간에 흐름에 따라, Rigid body assumption 에 의해 local coordinate 안에서 p점의 속도는 0이다. 따라서 마지막 항은 0이다.

$${\overrightarrow{r_p}}^i=\frac{d}{dt}{\overrightarrow{r_p}}^i=\stackrel{\cdot }{{\overrightarrow{R}}^i}+\stackrel{\cdot }{A^i}{\overrightarrow{\stackrel{-}{u_p}}}^i$$

여기서 행렬 미분을 생각해보면, A는 theta 만의 함수이므로 이녀석을 시간 t에 대해 미분하면, chain rule 에 의해,

$$\stackrel{\cdot }{A^i}=\frac{d}{dt}{A}^i({\theta }^i)=\frac{d{\theta }^i}{dt}(\frac{d}{d{\theta }^i}{A}^i)=\stackrel{\cdot }{{\theta }^i}{A}_{,\theta }^i$$

이렇게 표현되고, A를 theta에 대해 미분한 행렬은,

$$A_{,\theta }^i=\left[\begin{array}{cc}-sin{\theta }^i& -cos{\theta }^i\\ cos{\theta }^i& -sin{\theta }^i\end{array}\right]$$

Transform to Cross product form

결과적으로, 강체에서 속도 벡터는,

$$\stackrel{\cdot }{{\overrightarrow{r_p}}^i}=\stackrel{\cdot }{{\overrightarrow{R}}^i}+\stackrel{\cdot }{{\theta }^i}{A}_{,\theta }^i{\overrightarrow{\stackrel{-}{u_p}}}^i$$

2D에서 각속도 벡터는,

$${\overrightarrow{\omega }}^i=\stackrel{\cdot }{{\theta }^i}\hat{k}=[00\stackrel{\cdot }{{\theta }^i}{]}^T$$

이 때,

$$\stackrel{\cdot }{{\theta }^i}{A}_{,\theta }^i{\overrightarrow{\stackrel{-}{u_p}}}^i=\stackrel{\cdot }{{\theta }^i}\left[\begin{array}{cc}-sin{\theta }^i& -cos{\theta }^i\\ cos{\theta }^i& -sin{\theta }^i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\stackrel{-}{x_p}}^i\\ {\stackrel{-}{y_p}}^i\end{array}\right]=\stackrel{\cdot }{{\theta }^i}\left[\begin{array}{c}-{\stackrel{-}{x_p}}^{i}sin{\theta }^i-{\stackrel{-}{y_p}}^{i}cos{\theta }^i\\ {\stackrel{-}{x_p}}^{i}cos{\theta }^i-{\stackrel{-}{y_p}}^{i}sin{\theta }^i\end{array}\right]$$

로 정리될 수 있다. 여기서 Up 벡터는 다음과 같이 표현 될 수 있다.

$${\overrightarrow{u_p}}^i=A^i{\overrightarrow{\stackrel{-}{u_p}}}^i=\left[\begin{array}{cc}cos{\theta }^i& -sin{\theta }^i\\ sin{\theta }^i& cos{\theta }^i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\stackrel{-}{x_p}}^i\\ {\stackrel{-}{y_p}}^i\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{-}{x_p}}^{i}cos{\theta }^i-{\stackrel{-}{y_p}}^{i}sin{\theta }^i\\ {\stackrel{-}{x_p}}^{i}sin{\theta }^i+{\stackrel{-}{y_p}}^{i}cos{\theta }^i\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{u}_x^i\\ u_y^i\end{array}\right]$$

각속도 백터와 Up 벡터를 내적하면,

$$\begin{gathered} {\overrightarrow{\omega }}^i\times {\overrightarrow{u_p}}^i=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ 0& 0& \stackrel{\cdot }{{\theta }^i}\\ u_x^i& u_y^i& 0\end{array}\right| \\ =\left|\begin{array}{cc}0& \stackrel{\cdot }{{\theta }^i}\\ u_y^i& 0\end{array}\right|\hat{i}-\left|\begin{array}{cc}0& \stackrel{\cdot }{{\theta }^i}\\ u_x^i& 0\end{array}\right|\hat{j}+\left|\begin{array}{cc}0& 0\\ u_x^i& u_y^i\end{array}\right|\hat{k} \\ =-\stackrel{\cdot }{{\theta }^i}{u}_y^i\hat{i}+\stackrel{\cdot }{{\theta }^i}{u}_x^i\hat{j} \end{gathered}$$

이 식을 행렬식으로 표현하면,

$$\stackrel{\cdot }{{\theta }^i}\left[\begin{array}{c}-u_y^i\\ u_x^i\end{array}\right]=\stackrel{\cdot }{{\theta }^i}\left[\begin{array}{c}-{\stackrel{-}{x_p}}^{i}sin{\theta }^i-{\stackrel{-}{y_p}}^{i}cos{\theta }^i\\ {\stackrel{-}{x_p}}^{i}cos{\theta }^i-{\stackrel{-}{y_p}}^{i}sin{\theta }^i\end{array}\right]=\stackrel{\cdot }{{\theta }^i}{A}_{,\theta }^i{\overrightarrow{\stackrel{-}{u_p}}}^i$$

따라서,

$$\stackrel{\cdot }{{\theta }^i}{A}_{,\theta }^i{\overrightarrow{\stackrel{-}{u_p}}}^i={\overrightarrow{\omega }}^i\times {\overrightarrow{u_p}}^i$$

Summary

결론적으로 속도 벡터는 다음과 같이 표현된다.

$${\overrightarrow{r_p}}^i=\stackrel{\cdot }{{\overrightarrow{R}}^i}+\stackrel{\cdot }{{\theta }^i}{A}_{,\theta }^i{\overrightarrow{\stackrel{-}{u_p}}}^i=\stackrel{\cdot }{{\overrightarrow{R}}^i}+{\overrightarrow{\omega }}^i\times {\overrightarrow{u_p}}^i$$

가속도 벡터의 표현

$$\stackrel{\cdot \cdot }{{\overrightarrow{r_p}}^i}=\frac{d}{dt}\stackrel{\cdot }{{\overrightarrow{r_p}}^i}=\frac{d}{dt}[\stackrel{\cdot }{{\overrightarrow{R}}^i}+\stackrel{\cdot }{{\theta }^i}{A}_{,\theta }^i{\overrightarrow{\stackrel{-}{u_p}}}^i]$$

정리하면,

$$\begin{gathered} \stackrel{\cdot \cdot }{{\overrightarrow{r_p}}^i}=\stackrel{\cdot \cdot }{{\overrightarrow{R}}^i}-(\stackrel{\cdot }{{\theta }^i}{)}^2{A}^i{\overrightarrow{\stackrel{-}{u_p}}}^i+\stackrel{\cdot \cdot }{{\theta }^i}{A}_{,\theta }^i{\overrightarrow{\stackrel{-}{u_p}}}^i \\ =\stackrel{\cdot \cdot }{{\overrightarrow{R}}^i}+[{\overrightarrow{\omega }}^i\times ({\overrightarrow{\omega }}^i\times {\overrightarrow{u_p}}^i)]+[{\alpha }^i\times {\overrightarrow{u_p}}^i] \end{gathered}$$

여기서 alpha는,

$${\alpha }^i=[00\stackrel{\cdot \cdot }{{\theta }^i}{]}^T$$

이다.