Discrete Probability Distribution

대표적으로 사용하는 이산 확률 변수에 대한 분포를 알아본다. 의미적으로 이해하는 것을 우선으로 한다.

초기하 분포

n번의 시행에서 k번 성공할 확률, 그런데 독립시행이 아닐 경우의 분포

주머니에 10개의 공이 있다. 이 때 파란공이 3개, 빨간공이 7개 이다. 이런 상황에서의 확률 실험이 공을 5번 꺼내는 실험이다. 공은 다시 넣지 않는다.(비복원 추출) 이 떄 확률 변수 X를 빨간 공이 나오는 횟수라고 할 경우, 발생하는 확률 분포이다. 이 초기하 분포를 설명하기 위해서는 총 공이 몇개가 있는지(N), 몇개를 뽑을 것인지(n), 그 때 빨간공이 나오는 개수(k) 세가지 파라미터가 필요하다.

초기하 분포의 상황에서 n이 특정수 이상으로 큰 경우 이항 분포로 가정하고 풀이한다.

$$p_X(k)=\mathrm{Pr}(X=k)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{K}{k}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-K}{n-k}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n}\right)}$$

이항 분포

확률 변수의 값이 독립 시행의 성공 횟수로 표시되는 경우에 따른 분포

동전을 5번 던졌을 때, 앞면이 나오는 횟수를 확률 변수로 잡는 경우이다. 문제에서 알 수 있듯 해당 분포를 설명하기 위해서는 몇번 던지는지(n), 그리고 한번의 시행에서 나오는 확률 얼마인지(p)를 정의해야 한다. 두개의 파라미터를 가진다.

이항 분포는 베르누이 확률 변수의 합으로 정의되는 랜덤 변수의 분포로 정의된다.

$$\mathrm{Pr}(K=k)=f(k;n,p)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$$

기하 분포

처음으로 성공하는 횟수를 확률 변수로 잡을 경우 나오는 분포

동전을 던지는데, 처음으로 앞면이 나오는 시행 횟수를 확률 변수로 잡을 경우 나타나는 분포이다.

$$\mathrm{Pr}(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p$$

음이항 분포

특정 횟수를 성공하기 위한 시행 횟수에 대한 분포

동전의 앞면이 10번 나오기 위해 던져야 하는 횟수를 확률 변수로 정의했을 때 나타나는 분포이다. 해당 분포를 설명하기 위해서는 몇번 성공할 것인지(k) 그리고 그 독립 시행의 확률이 얼마인지(p)를 주어진 상태에서 x를 정의하고 그에 대한 확률을 정의한다.

음이항 분포의 랜덤 변수는 기하 분포의 랜덤 변수의 합으로 정의된다.

$$b^{-1}(x;k,p)=\left(\begin{array}{c}x-1\\ k-1\end{array}\right)p^k(1-p{)}^{x-k}$$