Fourier Series

푸리에 급수(Fourier series)는 주기적인 함수를 다양한 주파수의 사인(sin)과 코사인(cos) 함수의 합으로 표현하는 수학적인 표현 방법이다.

주로 주기성을 가진 신호나 함수를 주파수 영역으로 분해하여 분석할 때 사용된다.

열 방정식을 풀기 위해 조제프 푸리에가 도입하였다.

$f(x)$를 주기 $2L$을 가지는 주기적인 함수라고 가정하면,

$$f(x)=a_0+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_n\cos \left(\frac{n\pi x}{L}\right)+b_n\sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right]$$ $$a_0=\frac{1}{2L}{\int }_{-L}^{L}f(x)dx$$ $$a_n=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(x)\cos \left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx$$ $$b_n=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(x)\sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx$$

• $a_0$는 상수항(coefficient)이다.
• $a_n$과 $b_n$은 각각 사인(sin) 및 코사인(cos) 항의 계수(coefficient)이다.

즉, 푸리에 급수는 원래 함수를 주파수 도메인으로 변환하는데 사용되며, 다양한 주파수의 사인 및 코사인 함수를 합하여 주기적인 함수를 근사화다. 이렇게 변환하면 주파수 영역에서 함수의 주요 구성 요소와 주기성을 분석할 수 있으며, 신호 처리 및 주기적인 현상을 이해하는 데 유용하다.