Rank

행렬은 하나의 공간을 매핑한다고 했다. 방금은 3 x 3 의 행렬에 대해 봤기 때문에, 열벡터 공간과 행벡터 공간이 동일하게 3차원 공간을 매핑하고 있었다.

하지만 행렬이 꼭 정사각행렬이라는 법은 없다.

따라서 우리는 행벡터와 열벡터에 대한 선형 독립성을 판단할 지표가 필요한데, 이 때 등장하는 개념이 Rank 이다.

$$\underset{=}{A}=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& & & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}\overrightarrow{a_1}& \overrightarrow{a_2}& \cdots & \overrightarrow{a_n}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\overrightarrow{a_1}\\ \overrightarrow{a_2}\\ ⋮\\ \overrightarrow{a_m}\end{array}\right]$$

A 행렬이 다음과 같이 있을 때, 첫번째가 열벡터로 묶은 행렬, 두번째가 행벡터로 묶은 행렬이다.

A 행렬의 모든 벡터들이 선형 독립이라 가정 할때, 열벡터들의 개수가 Column Rank(Nc) , 행벡터들의 개수가 Row Rank(Nr) 이다.

만약 정사각 행렬이라면,

$$N_c=N_r=N$$

Rank와 행렬식과의 관계

정사각 행렬에서 Full Rank 인 경우, 동치인 말이 여러개 존재한다.

• Full Rank
• det(A) != 0
• 역행렬이 존재한다.
• non-singular Matrix
• non-trivuial solution