Navier-Stokes Equation

나비에 스톡스 방정식은 그럼 무엇인가. 뉴턴 법칙을 오일러 관점에서 서술한 식이다. net_F = m*a에서 RHS의 서술이 오일러 관점에서 어떻게 서술될 수 있는지 알 수 있다. 이를 바꿔주는 RTT에서 B = V를 대입해서 정리해보자. 마찬가지로 미소면적에 대해 정리하면,

여기서 비압축성 유체(밀도 = 상수)일 경우, 첫번째 항에서 밀도가 상수로 빠져나올 수 있게 된다. 그리고 비압축성 유체의 연속방정식으로 부터, 결론적으로 미소 부피의 Total F는 밀도 * 속도에 대한 물질도함수로 나타낼 수 있다.

그런데, 이 건 외력의 총합이 시스템에서 어떻게 작용하는 지에 대한, m*a에 대한 정리이고, 실제로 특정 시스템을 잡았을 때, 그 곳에 작용 할 수 있는 외력의 종류가 무엇이 있는지 정리할 필요가 있다. 우리가 가하는 힘을 제외했을 때, 자연적으로 발생하는 힘은 Body force와 Surface force로 나눌 수 있다. 그중 Body force는 쉽게 구할 수 있다.

표면힘이 조금 까다로운데, 미소면적의 중앙에서 작용하는 응력을 기준으로 잡았을 때, 테일러 급수에 의해 각 면에 해당하는 응력을 구할 수 있다. 이 때, 응력에 의해 이 미소면적에 작용하는 알짜 힘은 각면에서의 응력차에 해당하는 힘이 그 역할을 하므로, 다음과 같이 구할 수 있을 것이다.

만약 3차원이라면 각포인트에서 3개의 응력항이 나오고, 이것을 행렬형태로 만든것을 응력 텐서라 한다. 이것에 대해서는 다른 포스팅에서 좀더 자세하게 다루도록 하겠다.

이것들을 한번에 나타내면, 외력은 라그랑지언 관점과, 오일러 관점에서 서술할 수 있다. 라그랑지언 관점은 기존의 생각하는 방식과 동일하게 작용하는 외력항을 다 더해준 형태를 말한다. 오일러 관점에서는 조금 변화되서 생각하는 것이 좋은데, 다른 구조물에 의한 외력을 제외했을 때, body force와 surface force로 생각한다. 이는 유체내에서 해석하기 좋게 하기 위해 식을 풀어 쓰는 것이다. ma항도 역시 라그랑지언 관점과, 오일러 관점에서 서술할 수 있다. 라그랑지언 관점은 ma로 해석하면 된다. 오일러 관점 은 물질도함수를 사용하여 나타내는데, 전역가속항과 국소가속항으로 나누어서 표현한다. 유체역학에서 ma항은 보통 오일러 관점으로 서술한다.