Information Entropy

정보이론에서 확률 변수(Random Variable) 의 불확실성을 정량화하는 척도

Shannon Entropy

이산 확률 변수 $X$의 섀넌 엔트로피 $H(X)$는 다음과 같이 정의된다.

$$H(X)=E(I(x))=E(-\log p(X))=\sum _{x\in \mathcal{X}}p(x)\log p(x)$$

• $I(x)$: 확률 변수 $X$의 Self Information
• $E(I(x)):확률변수$X$의 평균 정보량
• $p(x)$: 확률 변수 $X$의 확률 질량 함수
• $\mathcal{X}$: 확률변수 $X$가 취할 수 있는 값들의 집합

성질

1. $H(X)\ge 0$
2. $H(X)\le \log |\mathcal{X}|$: $\mathcal{X}$에 대해 최대 엔트로피를 갖는 확률 분포는 균등 분포이다.
3. 임의의 확률분포 $p$에 대해 $H(p)$는 오목함수(Convex)이다.
4. 로그의 밑은 보통 2이며, 섀넌 엔트로피의 단위는 비트

개념

• Self Information의 평균이다.
• 즉, 각 사건의 발생에서 얻을 수 있는 정보량의 평균을 의미한다.
• 사건의 발생 확률이 균등할수록(즉, 모든 사건이 발생할 가능성이 동일할 때), 엔트로피가 최대가 된다.
• 특정 사건의 발생 확률이 매우 높거나 낮다면, 엔트로피는 낮아진다. 이는 시스템이 더 예측 가능하다는 것을 의미한다.

• 위 그림은 이진 엔트로피의 예시이다.
• 즉, $P(X)=0,P(X)=1$ 인 확률 분포일 경우의 이진 엔트로피를 나타내고 있다.
• 위 경우 정보 엔트로피는 $H(X)=(p-1)log(1-p)-plogp$로 계산된다.
• 해당 그래프를 그려보면 위와 같은 볼록함수가 나온다.
• 결정론적인 분포일 수록 엔트로피가 0에 가깝다. (X축이 0이거나 1)
• 반대로 확률 분포가 고르게 분포할 수록 엔트로피가 최대가 된다. (X축이 0.5))

예시

동전 던지기

• 공정한 동전의 앞면과 뒷면이 나올 확률은 각각 0.5이다.
• 엔트로피를 계산해 보면:

$H(X)=-(0.5{\log }_{2}0.5+0.5{\log }_{2}0.5)=1\text{Bits}$

• 이 경우, 엔트로피는 최대값인 1 비트이다. 이는 결과를 예측하기 어려운 상태를 의미한다.

편향된 동전 던지기

• 만약 동전이 편향되어 앞면이 나올 확률이 0.9, 뒷면이 나올 확률이 0.1이라면:

$H(X)=-(0.9{\log }_{2}0.9+0.1{\log }_{2}0.1)\approx 0.47\text{Bits}$

• 엔트로피가 1 비트보다 작아졌다. 이는 동전 던지기의 결과를 더 예측하기 쉬운 상태를 나타낸다.

주사위 던지기

• 공정한 6면체 주사위의 각 면이 나올 확률은 $\frac{1}{6}$ 이다.
• 이 경우 엔트로피는:

$H(X)=-{\sum }_{i=1}^6\left(\frac{1}{6}{\log }_2\frac{1}{6}\right)={\log }_{2}6\approx 2.58\text{Bits}$

• 이처럼 가능한 경우의 수가 많아지면 엔트로피도 증가하여, 더 예측하기 어려운 상태가 된다.

Reference

• 정보 이론을 사용하여 Wordle 해결
• 정보 엔트로피